Sylaby předmětů magisterského navazujícího programu Matematika. Jedná se o předběžnou verzi a lze tedy předpokládat ještě nějaké změny, neměly by však být zásadního charakteru. Krom náplně jednotlivých předmětů máme v úmyslu také diskutovat umístění předmětů v jednotlivých semestrech tak, aby na sebe smysluplně navazovaly a byl tak studentům umožněn hladký průběh studiem. Za tímto účelem (a také z dalších důvodů) budeme u předmětů uvádět prerekvizity. Zpracovány jsou následující předměty: 1) povinné předměty: M7300 Globální analýza, M7350 Algebra III, M8300 Parciální diferenciální rovnice, M8350 Algebra IV 2) povinně volitelné předměty bloků M5170 Matematické programování, M6800 Variační počet, M7120 Spektrální analýza I, M7160 Obyčejné diferenciální rovnice II, M7180 Funkcionální analýza II, M7960 Dynamické systémy, M7270 Komplexní analýza II, M8120 Spektrální analýza II, M7110 Diferenciální geometrie, M8130 Algebraická topologie, M8140 Algebraická geometrie, M7230 Galoisova teorie, M7150 Teorie kategorií, M7190 Teorie her, M8170 Teorie kódování, M0170 Kryptografie, M8190 Algoritmy teorie čísel Vzhledem ke složení skupiny je část materiálu psána v angličtině (povinné předměty programu), část v češtině (povinně volitelné předměty). V případě předmětů matematické analýzy byly sylaby předmětů porovnány s okruhy akreditovaných otázek k SZZ. Provázanost okruhů a otázek byla v nejasných a problematických situacích podrobně diskutována s garantem příslušného předmětu, někdy i se stávajícím vyučujícím předmětu. V povinných a povinně volitelných předmětech NMgr studia pro všechna čtyři zaměření nejsou pokryta témata SZZ uvedená v bodu C1 (funkcionální analýza I). Bylo by tedy vhodné na tento fakt studenty upozornit a doporučit jim v případě potřeby studium příslušného bakalářského předmětu, který tuto otázku pokrývá. ================================ M7350 Algebra III 1. Language of category theory: categories, functors, natural transformations, examples (1 week, but further examples should be provided throughout the whole course) mainly definitions and examples; a possible useful general theorem (used in Algebraic geometry): * a functor is an equivalence of categories if and only if it is fully faithful and essentially surjective on objects 2. Universal algebra: algebras, homomorphisms, subalgebras, congruences, quotients, products, terms, free algebras, Birkhoff theorem, examples (4 weeks) level of detail comparable to or greater than in the current course Algebra II a more detailed exposition would be welcome, at least for students of the algebra block - this could be solved by an additional seminar in that block 3. Modules: modules, homomorphisms, submodules, quotient modules, products, direct sums, kernels, cokernels (2 weeks) level of detail comparable to the current course Rings and modules 4. Free and projective modules: free modules, projective modules, semisimple modules (1,5 weeks) level of detail comparable to the current course Rings and modules 5. Tensor product: tensor product and its properties (1,5 weeks) level of detail comparable to the current course Rings and modules 6. Flat modules: flat modules, directed and filtered colimits, Lazard theorem, regular rings (1,5 weeks) level of detail comparable to the current course Rings and modules 7. Injective modules: injective modules, injective hull (1,5 weeks) level of detail comparable to the current course Rings and modules ================================ M8350 Algebra IV 1. Chain complexes: chain complexes, exactness, homology, projective and injective resolutions (2 weeks) 2. Derived functors: derived functors, Ext functor, Tor functor, extensions of modules and their connection with the Ext group (2 weeks) 3. Homological dimension: projective and injective dimension of a module, global dimension of a ring (1 week) this part is not essential (but is related to semisimple rings etc., so it would fit nicely with the other topics) 4. Noetherian rings and modules: noetherian modules, artinian modules, radical of a ring, Nakayama lemma (1 week) level of detail comparable to the current course Rings and modules it would make sense to speak about Grobner bases and compute examples in the tutorials 5. Commutative algebra: Dedekind rings, local rings, localization, primary decomposition, spectrum of a ring, connection to algebraic geometry (2 weeks) 6. Linear representations of groups: group rings and group algebras and modules over them, irreducible representations, decomposition into a direct sum of irreducible representations (semisimplicity), Schur lemma, Maschke theorem (2 weeks) 7. Characters on groups: characters, orthogonality, applications to finite groups, induced representations, Frobenius reciprocity theorem (2 weeks) * remarks We propose to cover Grobner bases and remove this topic from Algebraic geometry. * prerequisites Algebra I, II, Linear algebra and geometry I, II. It is also useful to pass Linear Algebra and geometry III (tensor product of vector spaces). * covers state exam topics A4, A5, A6 ================================ M7300 Global Analysis 1. A (curved) coordinate system. Local diffeomorphisms, submersions and immersions between euclidean spaces and their canonical form in suitable coordinate systems. Smooth submanifolds of R^n and coordinate systems on them. 2. Smooth manifold as an abstraction of a submanifold from its particular embedding in R^n. 3. Directional derivative of a function, tangent vector, differential of a function, cotangent vector. 4. Tangent bundle, tangent vector field, flow of a vector fields. Lie bracket, its geometric meaning. 5. Smooth distributions, Frobenius theorem, application to PDRs. 6. Tensor fields. Differential forms. The exterior differential, de Rham cohomology. 7. Orientation of a manifold, integration of differential forms. Stokes theorem. 8. Lie groups, Lie algebras. Lie algebra of a Lie group. Lie subgroups and Lie subalgebras and their interplay. 9. Homomorphisms of Lie groups and homomorphisms of Lie algebras and their interplay. 10. Exponential map, adjoint representation. Coverings of Lie groups. 11. Differential calculus for functions with values in a Lie group (logarithmic derivative). 12. Basic concepts of representations of Lie groups. 13. Actions of Lie groups on manifolds. Homogeneous spaces. 14. Basic concepts of riemannian and symplectic geometry. 15. Further topics according to the students' and lecturer's preferences, e.g. control theory or sub-Riemannian geometry (Chow–Rashevskii theorem), to theoretical mechanics, more detailed exposition of the representation theory of Lie groups, Lie algerbas, etc. * remarks: The vector interpretation of the classical differential and integral calculus is proposed to be treated in the bachelor course Differential geometry of curves and surfaces. * prerequisites Linear algebra and geometry III, Differential geometry of curves and surfaces * covers state exam topics A7, A8, A9 ================================ M8300 Partial differential equations 1. Introduction This part provides the definition of a partial differential equation. Different types of PDEs such as linear PDEs, semilinear PDEs, quasilinear PDEs will be introduced. Important linear PDEs such as the Laplace equation, the transport equation, the heat equation, the wave equation and interesting nonlinear equations such as nonlinear Poisson equation, $p$-Laplace equation, Hamilton-Jacobi equation, reaction-diffusion equation will be presented. 2. First order PDEs First order PDEs are of great interest since they apprear in a variety of physical theories. In this part the method of characteristics, which is based on the idea of converting a boundary value problem for first order PDEs into an appropriate system of ODEs, will be introduced. The application of the method to solving linear and quasilinear first order equations will be illustrated. 3. Laplace equation and Poisson equation This part presents main properties of harmonic functions, namely solutions of the Laplace equation, such as mean-value formula, converse to mean-value property, maximum principle, regularity, local estimates on derivatives, Liouville theorem, Harnack inequality. Then various aspects of the Poisson equations will be discussed, including the fundamental solution of the Laplacian equation, Representation formula, the boundary value problem. Finally we introduce a discretization method often applied for the numerical (approximative) computation of solutions of differential equations. 4. Heat equations This part is first focused on the construction of the fundamental solution of the heat equation. Then important properties of solutions of the heat equations such as mean-value property, maximum principle, regularity will be provided. Due to the properties of the fundamental solution, we establish the existence and uniqueness result for the initial value problem. 5. Wave equations This part first deals with the formula of solutions of the initial boundary value problem for the wave equation in one dimension. It is worth mentioning that this formula relies heavily on the formula of solutions to transport equations. Then the formula of solutions to the wave equation in $3$ and $2$ dimensions is obtained by the method of spherical means. In higher dimensions, the formula of solutions will also be discussed successively for the odd dimensions and even dimensions. 6. Cauchy-Kovalevskaya theorem This part presents the Cauchy-Kovalevskaya theorem which provides a power series solution for quasilinear PDE with analytic Cauchy data. 7. Fourier transform method This part presents the theory of Fourier transform, including the definition and elementary properties of Fourier transform. We will show that the Fourier transform is a powerful tool for studying PDEs by providing its applications in solving some elliptic and parabolic PDEs. 8. Semigroup This part develops the theory of semigroups and presents two applications to linear PDEs. The connection between the theory of semigroup and the Brownian motion will be also explained. 9. Sobolev space This chapter introduces the Sobolev spaces which is an appropriate setting to study PDEs via the variational method. We show that Sobolev functions can be approximated by smooth functions. We also discuss the trace of Sobolev functions. Finally, we derive the embeddings of various Sobolev spaces into others, which are a crucial tools in the theory of PDEs. 10. Second order elliptic equations In this part, we present the definition of weak solutions to second order elliptic equations and discuss the variational method to find a weak solution. Then we are concerned with the question of regularity. In particular, we show that weak solutions of considered elliptic equations may turn out to be smooth enough to be qualified as classical solutions. Finally we discuss finite element methods which represent a powerful and general class of techniques for the approximate solution of PDEs. 11. Second order parabolic and hyperbolic equations In this part, we introduce the notion of weak solutions. Then we develop the Galerkin method, which is to construct weak solutions of some finite dimensional approximations to equations under consideration. This method can be employed to solve the parabolic and hyperbolic initial boundary value parabolic and hyperbolic equations. * prerequisites Basic knowledge of Real Analysis, Functional Analysis and Measure Theory. * covers state exam topics A1, A2, A3 ================================ M5170 Matematické programování Základy konvexní analýzy: Konvexní množiny (základní pojmy, konvexní obaly, oddělování a opěrné nadroviny); Konvexní funkce (základní pojmy, kriteria konvexnosti pro diferencovatelné funkce); Subgradient a subdiferenciál; Fenchelova transformace; Řešení systémů lineárních a konvexních nerovností. Numerické metody nepodmíněné minimalizace: Jednorozměrná minimalizace (prosté dělení intervalu, půlení intervalu, Fibonacciho metoda, metoda zlatého řezu); Metody hledání volných extrémů (metoda nejrychlejšího spádu, Newtonowa metoda, metoda sdružených gradientů). Matematické programování: Langrangeův princip (nutné a postačující podmínky optimality, Kuhnovy-Tuckerovy podmínky, základy konvexního programování); Základy teorie duality (Kuhnovy-Tuckerovy vektory, slabá dualita, silná dualita, sedlové body); Závislost řešení na parametrech (věta o obálce; stínová cena). Prerekvizity: M2100 Matematická analýza II, M2110 Lineární algebra a geometrie II Zahrnuto v okruzích B1 a B2 otázek k SZZ. ================================ M6800 Variační počet Funkcionál; Jednoduché úlohy variačního počtu; Prostory funkcí; První variace funkcionálu; Nutné podmínky pro slabý extrém; Eulerova rovnice; Pevné a proměnné okrajové podmínky; Druhá variace; Postačující podmínky pro extrém; Vztah slabého a silného extrému. Prerekvizity: Základy teorie diferenciálních rovnic, metody řešení pro rovnice prvního a druhého řádu, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech. Témata nejsou součástí okruhů k SZZ. ================================ M7120 Spektrální analýza I Fourierovy řady - ekvivalentní tvary Fourierových řad; Dirichletovo jádro a bodová konvergence; Fejérovo jádro a konvergence v průměru, konvergence v normě; L1 a L2 prostory, konvoluce a korelace, Parsevalovy identity. Fourierova transformace - existence a inverze, Fourierova věta, Plancherelova věta, konvoluce, korelace, Parsevalovy identity, příklady. Zobecnění Fourierovy řady a Fourierovy transformace do vyšší dimenze a na distribuce. Prerekvizity: Komplexní čísla, diferenciální a integrální počet, Lebesgueův integrál, metrické prostory, lineární funkcionální analýza. Zahrnuto v okruzích B6 a B7 otázek k SZZ. ================================ M7160 Obyčejné diferenciální rovnice II Carathéodoryho třída funkcí; Absolutně spojité funkce; Carathéodoryho věta pro diferenciální rovnice vyšších řádů; Prodloužitelnost řešení Cauchyovy úlohy; Dolní a horní řešení Cauchyovy úlohy; Množina řešení Cauchyovy úlohy; Diferenciální a integrální nerovnosti; Globální řešení Cauchyovy úlohy; Jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Prerekvizity: M5160 Obyčejné diferenciální rovnice I. Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory, komplexní funkce reálné proměnné. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice. Diferenciální rovnice: Lineární i nelineární systémy obyčejných diferenciálních rovnic, teorie stability, autonomní rovnice. Zahrnuto v okruhu B3 otázek k SZZ. ================================ M7180 Funkcionální analýza II Lineární operátory (opakování z Funkcionální analýzy I); Kompaktní operátory; Diferenciální počet v Banachových prostorech; Striktně a uniformně konvexní prostory; Stupeň zobrazení pro nelineární operátory na Banachových prostorech; Věty o pevném bodu; Integrace funkcí s hodnotami v Banachových prostorech; Samoadjungované operátory v Hilbertově prostoru; Spektrum lineárního operátoru; Klasifikace bodů spektra; Integrální operátory. Prerekvizity: M6150 Funkcionální analýza I Zahrnuto v okruzích B4, B5 a C2 otázek k SZZ. ================================ M7960 Dynamické systémy Přehled vybraných výsledků z teorie obyčejných diferenciálních rovnic Autonomní rovnice - základní pojmy a vlastnosti, elementární typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v R2, Poincaré-Bendixsonova věta, Dulacovo kritérium, charakteristické směry. Obecné pojetí dynamického systému, spojité a diskrétní dynamické systémy. Matematické modely, klasifikace modelů, základní etapy procesu matematického modelování, sestavení matematického modelu, dimenzionální a matematická analýza matematických modelů, vybrané matematické modely v přírodních vědách. Prerekvizity: Obyčejné diferenciální rovnice: Lineární a nelineární systémy diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešení, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech, základy teorie stability. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice. Zahrnuto v okruzích B8 otázek k SZZ. ================================ M7270 Komplexní analýza II Princip argumentu; Rouchého věta; Hartogsův jev; integrální reprezentace holomorfních funkcí; Caychyho a Bochner-Martinelliho jádro; Bergmanovo jádro a projekce; Řešení nehomogenních Cauchy-Riemannových rovnic; základy CR geometrie Prerekvizity: Diferenciální a integrální počet jedné a více proměnných, úvodní kurz komplexní analýzy Zahrnuto v okruzích C3 otázek k SZZ. ================================ M8120 Spektrální analýza II Diskrétní Fourierova transformace (DFT): DFT jako diskretizace FT v jedné i více dimenzích, vlastnosti, zkreslení vznikající při přechodu od FT k DFT, věta o interpolaci. Diskrétní konvoluce a korelace (DK): lineární a cyklická DK jako výsledek diskretizace, vlastnosti, souvislost s násobením polynomů, věta o diskrétní konvoluci a korelaci, diskrétní Parsevalovy identity, periodogram, číslicová filtrace, algoritmy realizace číslicového filtru pro dlouhou vstupní posloupnost. Fourierova analýza zobecněných funkcí: informativní přehled teorie zobecněných funkcí (distribucí), zobecněné funkce jako funkcionály, Diracova funkce, přenesení klasických pojmů a operací na distribuce, základní prostory distribucí a jejich vlastnosti, jednotné pojetí Fourierovy analýzy (FŘ, FT a diskrétní Fourierovy transformace) v rámci teorie distribucí. Algoritmy pro výpočet DFT: Souběžný výpočet dvou reálných DFT téže délky, výpočet DFT reálné posloupnosti délky 2N pomocí jedné komplexní DFT délky N, algoritmy rychlé Fourierovy transformace (Cooley-Tukey FFT) a konvoluce. Některé další transformace Fourierova typu: Hartleyho, kosinová aj., a jejich aplikace. Prerekvizity: M7120 Spektrální analýza I Částečně zahrnuto v okruzích B7 otázek k SZZ (Fourierova transformace na distribucích). ================================ M7110 Diferenciální geometrie 1. Vektorové bandly a fibrované variety. 2. Hlavní a asociované bandly, bandly reperů, jetové bandly. 3. Řezy asociovaných bandlů. 4. Konexe na hlavních bandlech, paralelní přenášení. 5. Lineární konexe na vektorových bandlech. 6. Koszulův přístup ke konexím na tečném bandlu. 7. Riemannova metrika a její Levi-Civitova konexe. 8. Symetrie diferenciálnı́ch operátorů a geometrický přı́stup k PDR. 9. Další témata zvolená vyučujícím (zobecněná Gaussova-Bonnetova věta, konformní geometrie, projektivní geometrie, Hodgeova teorie) Komentář: Z předmětu se látka "Lieovy grupy a Lieovy algebry" přesunula do předmětu M7300. Proto bude třeba sylaby ještě doplnit/doladit. Pokrývá zcela otázku Z6. Prerekvizity: Algebra I, Algebra II, M7300 Globální analýza ! Tudíž předmět diferenciální geometrie by měl být v jarním semestru. ================================ M8130 Algebraická topologie 1. CW-komplexy. 2. Simpliciální homologie. 3. Singulární homologie a kohomologie. 4. Výpočet homologií a kohomologií CW-komplexů. 5. Součiny v kohomologiích. 6. Poincarého dualita. 7. Homotopické grupy. 8. Fibrace a kofibrace. 9. Van Kampenova věta o fundamentální grupě sjednocení. 10. Hurewitzova věta. 11. Whiteheadova věta. 12. Věta o výřezu pro homotopické grupy, Freudenthalova věta. Komentář: pokrývá zcela otázku Z7 s tím, že "Pojem homotopie a homotopické ekvivalence" se dělá již v Topologii. Prerekvizity: Algebra I, Algebra II, Topologie (bakalářský povinný předmět pro specializaci Obecná matematika). ================================ M8140 Algebraická geometrie 1. Rezultanty, Gröbnerovy báze. 2. Afinní variety. 3. Hilbertova věta o nulách. 4. Polynomiální funkce, vztah afinních variet a algeber. 5. Projektivní variety. 6. Regulární zobrazení, dominantní zobrazení, biracionální ekvivalence, vztah kvaziprojektivních variet a rozšíření. 7. Dimenze variety. 8. Tečný prostor. 9. Bezoutova věta. 10. Divizory na křivkách. Komentář: pokrývá zcela otázku Z8. Prerekvizity: Topologie, Algebra III (případně Algebra IV, ale v takovém případě by bylo nutné potřebná témata probrat předtím, než se budou používat v Algebraické geometrii) ================================ M7230 Galoisova teorie 1. Algebraická, jednoduchá a konečná rozšíření těles. 2. Klasické konstrukce pravítkem a kružítkem. 3. Rozkladová tělesa a normální rozšíření, algebraický uzávěr. 4. Separabilní a neseparabilní rozšíření. 5. Kruhové polynomy a kruhová rozšíření. 6. Základní definice Galoisovy teorie. 7. Hlavní věta Galoisovy teorie konečných rozšíření. 8. Složená rozšíření a jednoduchá rozšíření. 9. Kruhová rozšíření a Abelovská rozšíření nad Q. 10. Galoisovy grupy polynomů. 11. Cyklická a radikálová rozšíření. 12. Řešitelné grupy, souvislost s vyjadřováním kořenů polynomů v radikálech. 13. Nekonečná Galoisova teorie. Komentář: pokrývá zcela otázku Z9. Prerekvizity: Algebra II (bakalářský povinný předmět pro specializaci Obecná matematika). ================================ M7150 Teorie kategorií 1. Kategorie: definice, příklady, konstrukce kategorií, speciální objekty a morfismy 2. Součiny a součty: definice, příklady 3. Funktory: definice, příklady, diagramy 4. Přirozené transformace: definice, příklady, Yonedovo lemma, reprezentovatelné funktory 5. Kartézsky uzavřené kategorie: definice, příklady, souvislost s typovaným lambda-kalkulem 6. Limity: (ko)ekvalizátory, pullbacky, pushouty, limity, kolimity, limity pomocí součinů a ekvalizátorů 7. Adjungované funktory: definice, příklady, Freydova věta 8. Monoidální kategorie: definice, příklady, souvislost s lineární logikou, obohacené kategorie. Komentář: pokrývá zcela otázku Z10. Prerekvizity: Algebra III ? (vhodnější by asi bylo mít kategorie v jarním semestru, ale není to nezbytně nutné, je to spíš kvůli tomu, aby studenti měli k dispozici víc příkladů). ================================ M7190 Teorie her 1. Hry n hračů v normální formě (rovnovážné situace, jejich existence). 2. Hry 2 hračů v normální formě (antagonistické hry, optimalní strategie, řešení maticových her, hry na čtverci, opakované hry). 3. Neantagonistické hry 2 hráčů (bimaticové hry, teorie užitečnosti, úlohy o dohodě, vyhrožování). 4. Hry n hračů ve tvaru charakteristické funkce (jádro, jeho existence, von Neumann-Morgensternovo řešení, Shapleyho hodnota, teorie sociálního výběru). 5. Poziční hry (hry v rozšířené formě, hry s neurčitou informací). Komentář: pokrývá zcela otázku Z11. Prerekvizity: základní předměty bakalářského studia (dokonce stačí 2 semestry). ================================ M8170 Teorie kódování 1. Entropie, podmíněná entropie, informace a jejich vztahy a vlastnosti. 2. Věta o kódování bez šumu pro zdroje bez paměti. 3. Kompaktní kódování. 4. Šumový kanál, jeho kapacita a Shannonova věta o kódování pro šumové kanály. 5. Opravy chyb, lineární kódy, binární Hammingovy kódy, cyklické kódy, Reed-Mullerovy kódy. Komentář: pokrývá první část otázky Z12 Prerekvizity: základní předměty bakalářského studia. ================================ M0170 Kryptografie 1. Kryptografie a její cíle, Kerckhoffsův princip, základní kryptoanalytické útoky, kryptografické elementy, kryptografické protokoly, perfektní šifra, starověké šifrování, lineární posuvné registry. 2. Symetrické blokové a proudové šifry (operační módy, DES, AES). 3. Asymetrický šifrovací systém, příklady algoritmů, základy použití, jednocestné funkce. 4. Hashovací funkce v kryptografii, generování klíčů, digitální podpisy (RSA, DH), ukládání hesel. 5. Řízení přístupu - identifikace, autentizace. Možnosti autentizace (hesla, biometriky, čipové karty, certifikáty). Komentář: (první polovina semestru) pokrývá druhou část otázky Z12. Prerekvizity: základní předměty bakalářského studia. ================================ M8190 Algoritmy teorie čísel 1. Testy, zda je přirozené číslo N složené: Fermatův test a Carmichaelova čísla, Rabinův-Millerův test. 2. Testy, zda je přirozené číslo N prvočíslo: N-1 test Poclingtona-Lehmera, Metoda eliptických křivek. 3. Test Agarwala-Kayala-Saxeny 4. Hledání netriviálního dělitele přirozeného čísla N: Lehmannova metoda, Pollardova $\rho$ metoda, Pollardova p-1 metoda, Metoda řetězových zlomků, Metoda eliptických křivek, Metoda kvadratického síta. Komentář: Neodpovídá žádné státnicové otázce. Pouze úvod do teorie eliptických křivek je schovaný v otázce Z12 jako "Problematika eliptických křivek". Tam se dostal z rozvahy jakožto součást předmětu Kryptografie. Ve státnicových otázkách se takto ponechala, protože se jevilo smysluplné (v určité fázi příprav) mít všechny zásadní předměty aspoň částečně promítnuty do otázek. Nicméně ve finálním provedení státnicových otázek působí otázka "Problematika eliptických křivek" vysloveně rušivě. Eliptické křivky jsou bezbřehé a hluboké téma a pro účely SZZ by se muselo lépe specifikovat co se mají studenti naučit. Navíc celá otázka Z12 takto pokrývá dva předměty Kódování a Kryptografie a navíc eliptické křivky. To je poněkud diskriminující, protože obvyklý rozsah státnicových otázek Z odpovídá semestrálnímu předmětu. Navíc, s ohledem k celkovému pojetí státnicových otázek, už promítnutí všech "doporučených" předmětů není naprosto nutné. Z těchto důvodů navrhujeme vyřazení položky "Problematika eliptických křivek" z otázky Z12. Prerekvizity: Algebra II (bakalářský povinný předmět pro specializaci Obecná matematika).